PROPORZIONALITÀ DIRETTA ESERCIZI

PROPORZIONALITÀ DIRETTA CON ESERCIZI ONLINE

Cercate esempi ed esercizi sulla proporzionalità diretta ed inversa per la scuola media ? Dovete svolgere esercizi su questo argomento e cercate esempi di proporzionalità diretta con esercizi online da eseguire oppure stampare gratis per svolgerli sul quaderno ? Bene, oggi affrontiamo questo argomento. Le proporzioni in matematica mettono in relazione funzionale 2 o più variabili. Per capire quale sia la differenza tra queste 2 proporzionalità, vi invito a leggere queste 2 definizioni :

PROPORZIONALITÀ DIRETTA : 2 variabili x e y vengono dette direttamente proporzionali se è in essere tra di esse una relazione funzionale tipo y=kx, in cui k è una costante, non nulla, che rimane fissa. Se la variabile x aumenta di valore, allora aumenta anche y di valore e viceversa.

PROPORZIONALITÀ INVERSA : 2 variabili x e y sono inversamente proporzionali se è in essere tra di esse una relazione funzionale tipo y=k/x, dove con l'aumento di x, la variabile y diminuisce il suo valore e viceversa.

Esempi di proporzionalità di tipo diretto sono : y=2x oppure y=5x-2 (all'aumentare del valore x, y aumenta) mentre esempi di proporzionalità inversa sono : y=x-2 oppure y=(7+3)/x (all'aumentare del valore x, y diminuisce). Se dovessimo esprimere su di un grafico 2 variabili tra loro direttamente proporzionali, otterremmo una retta di questo tipo :

Mentre una proporzionalità inversa tra 2 variabili viene rappresentata su grafico in questo modo e cioè con una iperbole :

Ma adesso passiamo agli esercizi sulla proporzionalità diretta ed inversa. Cercate di capire, aiutandovi anche dagli esempi sopra citati e dalle definizioni suddette, quali proporzioni, tra quelle elencate, siano di tipo diretto e quali di tipo inverso.

PROPORZIONALITÀ DIRETTA ED INVERSA - 10 ESERCIZI

y=x

y=5x

y=3-x

y=7x-4

y=x/2

y=x/(2x+2)

y=3/x^2

y=6/5x

y=(1+x)/3

y=(15+3)/x^2

Il segno "^" indica l'elevamento a potenza (potenza del 2 in alcuni esercizi su scritti). Sono esercizi di proporzionalità diretta di matematica che possono essere risolti anche in un modo grafico. Ad esempio, se vi risulta che x=y sia una proporzione di tipo diretto, cioè all'aumentare di x, aumenta anche y, allora provate una sorta di prova del nove. Costruite un grafico e date ad x ed y ogni volta 2 valori (sempre più grandi). Trovati i punti di intersezione, uniteli e verificate quale figura geometrica venga fuori. Se vien fuori una retta, come nel disegno su, allora siete in presenza di una proporzionalità diretta, altrimenti se vien fuori una iperbole, siete in presenza di una proporzionalità inversa.

Cercate esercizi sui polinomi, sulle potenze con frazioni, altri esercizi di proporzionalità, problemi di matematica e geometria per ragazzi di scuola primaria (ex elementare), di scuola media, ecc... ? Cercate programmi per poter risolvere esercizi complessi di matematica ? Allora effettuate una ricerca nel sito oppure andate in questa pagina in cui trovare tantissimo materiale didattico per la scuola elementare ma anche media e per le classi prima, seconda, terza, non solo relativo alla matematica e geometria ma anche alla grammatica italiana e straniera (soprattutto inglese) :

GRAMMATICA - MATEMATICA - GEOMETRIA : DIDATTICA PER LE SCUOLE

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ESERCIZI SULLE PROPORZIONI

ESERCIZI SULLE PROPORZIONI MATEMATICHE

Cosa sono le proporzioni matematiche ? Se cercate le proporzioni in matematica per la prima media, la seconda e terza media, insomma se cercate esercizi con le proporzioni per la scuola media, siete nel posto giusto. Oggi vediamo alcuni esempi con soluzioni, seguiti da esercizi da sviluppare a casa. Innanzitutto spieghiamo il concetto di proporzionalità diretta ed inversa.

PROPORZIONALITÀ DIRETTA : 2 variabili a e b sono direttamente proporzionali se esiste tra loro una relazione di tipo b=ka, dove k è una costante detta di proporzionalità. Se la variabile a aumenta, allora aumenta anche b e viceversa.

PROPORZIONALITÀ INVERSA : 2 variabili a e b sono inversamente proporzionali se esiste tra loro una relazione di tipo b=k/a, dove all'aumentare di a, la variabile b decresce nel suo valore e viceversa.

ESEMPI DI PROPORZIONI MATEMATICHE CON FRAZIONI

8/16=x/40 cioè 8:16=x:40

Questa proprozione richiede il calcolo della variabile x. Il passaggio da fare per il calcolo della variabile è moltiplicare i 2 valori numerici esterni e dividerli per il valore interno 16 così :

x=(40*8)/16

Il risultato di questa proporzione con frazione è x=20.

5 ESERCIZI SULLE PROPORZIONI

Adesso passiamo a 5 esercizi sulle proporzioni in matematica che sono abbastanza semplici. Sono esercizi senza soluzioni perchè sono realmente facili da eseguire. Ricopiatele sul quaderno e provate ad inventarne anche di vostre. Sono proporzioni matematiche naturalmente adatte a ragazzi di scuola media ma anche superiore.

2 : 10 = x : 65
2 : x = x : 18
x : 2 = (4 + x) : 8
54 : 6x = x : 60
(x - 6) : 6 = x : 3

Trovate tanto altro materiale interessante riguardo la matematica ma anche la geometria e la grammatica, cliccando sul link sotto. Potrete trovare moltissimi altri esercizi matematici su polinomi, frazioni con potenza, problemi su figure piane e solide con teoria e formule per capire come risolverli e poi moltissimo materiale didattico per eseguire una corretta analisi grammaticale, esercizi con frasi sui complementi, aggettivi, pronomi, preposizioni, sia nella lingua italiana che inglese :

DIDATTICA SU MATEMATICA GEOMETRIA GRAMMATICA

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ESERCIZI CON GLI INSIEMI

ESERCIZI CON GLI INSIEMI SCUOLA PRIMARIA

Cercate esercizi sugli insiemi numerici, sugli insiemi dei numeri interi, relativi, assoluti ? Desiderate eseguire esercizi con gli insiemi per la scuola elementare, ora scuola primaria, per la 1 media, esercizi sugli insiemi anche per la scuola superiore, magari con soluzione e già svolti per capire il loro sviluppo ? Oggi ci dedichiamo alla spiegazione, con relativi esempi ed esercizi, di insiemi con numeri interi che sono : +1, +4, +6, +7, +40, +700, +4565, -1, -4, -6, -7, -40, -700, -4565, ecc... Insomma, i numeri interi sono numeri naturali con segno positivo e negativo posto davanti.

Ma vediamo un esempio sviluppando esercizi con gli insiemi di numeri interi, quindi numeri sia positivi che negativi. Se non ricordate i diversi simboli di intersezione e differenza di insiemi, allora visitate la pagina dedicata agli insiemi sul sito WIKIPEDIA qui.

ESEMPI SUGLI INSIEMI DI NUMERI CON SOLUZIONI

Ecco 2 esempi, uno che utilizza l'unione tra 2 insiemi dati A e B, insiemi di numeri interi naturali ed uno che utilizza l'intersezione. Negli esempi e negli esercizi non sono per adesso contemplati la differenza ed il prodotto cartesiano tra insiemi.

Dati i due insiemi A={-1,-2} e B={1,2,3} A u B (unione) è formato dagli elementi {-1,-2,1,2,3}

Dati i due insiemi A={3,7} e B={1,2,3} A u capovolta B (intersezione) è formato dagli elementi {3}

ESERCIZI SUGLI INSIEMI DI NUMERI INTERI

Ora vi offro una serie di esercizi con gli insiemi però sempre dei numeri interi e naturali, quindi con segno positivo e negativo. Alla fine di ogni esercizio vi è la soluzione. Per ciascuno dovrete calcolare l'insieme dato dall'unione e dall'intersezione.

Esercizio n. 1 : Dati i 2 insiemi A={-1,-6} e B={-7, 1,2,3,}

Soluzione unione AB{-1,-6,-7,1,2,3} - Soluzione intersezione AB {vuoto}

Esercizio n. 2 : Dati i 2 insiemi A={1,9} e B={-3, 1,5,9}

Soluzione unione AB {-3,1,5,9} - Soluzione intersezione AB {1,9}

Esercizio n. 3 : Dati i 3 insiemi A={1,3,5} B={3, 6} e C={1,2,3,5}

Soluzione unione ABC {1,2,3,5,6} - Soluzione intersezione ABC {3}

Esercizio n. 4 : Dati i 3 insiemi R={2,4,6} S={3, 6} e T={-2,2,4,6}

Soluzione unione RT {-2,2,4,6} - Soluzione intersezione RST {2,6}

Esercizio n. 5 : Dati i 4 insiemi A={-1} B={-2,7} C={1} e D={-2,5,7}

Soluzione unione ABCD {-1,-2,1,5,7} - Soluzione intersezione BD {-2,7}

Se desiderate fare altri esercizi sugli insiemi perchè magari questi vi sembrano semplici, allora provate a visitare queste 2 pagine sotto linkate, dove ne troverete altri di più complessi e che trattano anche la differenza tra insiemi ed il prodotto cartesiano tra insiemi. L'ultimo collegamento invece vi porta in una pagina da dove poter scegliere tra numerosi articoli relativi non solo alla matematica con esercizi, polinomi, frazioni con potenze, ecc... ma anche alla geometria con problemi vari su molte figure ed alla grammatica italiana ed inglese con tantissimo materiale corredato da teoria ed esercizi sui complementi, gli aggettivi, le preposizioni, i pronomi, ecc... :

PDF DA SCARICARE CON ESERCIZI TRA INSIEMI

SEMPLICI ESERCIZI CON GLI INSIEMI NUMERICI
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TEOREMA DI PITAGORA FORMULE

TEOREMA DI PITAGORA FORMULE DIRETTE E INVERSE

Quale la formula del teorema di Pitagora ? Quali le sue formule inverse ? Bene, se avete studiato la figura geometrica del triangolo alla scuola media, allora siete di fronte a questi quesiti. Il teorema di Pitagora si studia appunto alla scuola media e le sue applicazioni in geometria e nella vita di tutti i giorni, sono infinite. Quello che faremo oggi sarà fare una dimostrazione descrittiva e tramite formule, del teorema di Pitagora a cui seguiranno esercizi online e problemi.

Innanzitutto vediamo cosa dice il teorema. Una sua corretta definizione è questa :

"l'area totale del quadrato costruito sull'ipotenusa (c), corrisponde alla somma delle 2 aree costruite sui 2 cateti (a e b)"

Dal disegno sotto potete capire quello che dice la definizione :

Da questo si evince che il teorema di Pitagora ha le seguenti formule dirette ed inverse per il calcolo di un cateto e dell'ipotenusa (nelle formule a e b rappresentano i cateti mentre c il valore dell'ipotenusa) :

Il teorema pitagorico può essere applicato a qualsiasi figura che presenti un triangolo con un angolo retto al suo interno, quindi ad un rombo, ad un trapezio, oltre che ai vari triangoli base che conosciamo come quello equilatero, isoscele e scaleno. Adesso provate ad eseguire alcuni esercizi e a risolvere problemi utilizzando le semplici formule su descritte che necessitano, come vedete, del calcolo della potenza del numero 2 e della radice quadrata.

TEOREMA DI PITAGORA - ESERCIZI ONLINE E PROBLEMI

Esercizio 1. Utilizzando le formule per il calcolo dei cateti e dell'ipotenusa sopra descritte, calcolate quello che vi si chiede, conoscendo 2 dei 3 valori. Alcuni risultati danno numeri con la virgola.

c = ? cm - a = 3 cm - b = 4 cm
a = ? cm - c = 5 cm - b = 3 cm
b = ? cm - c = 12 cm - a = 6 cm
c = ? cm - a = 7 cm - b = 5 cm
a = ? cm - c = 11 cm - b = 4 cm

Esercizio 2. Ecco la traccia di un problema dove applicare le formule del teorema pitagorico. Copiatela sul quaderno ed impostate per bene il disegno ed i dati.

"Un arredatore deve comprare i mobili per arredare una stanza di una casa. La stanza è a forma di triangolo rettangolo e l'arredatore conosce solo la lunghezza di 2 lati della stanza e cioè di quelli che formano l'angolo retto (a e b - cateti) che misurano rispettivamente 4 e 9 metri. Calcolate la lunghezza del lato l obliquo della stanza (ipotenusa c) affinchè l'arredatore possa comprare la giusta quantità di mobili. Calcolate inoltre perimetro P ed area totale A della stanza"

Risultati :

c = 9,84 metri circa
P = 22,84 metri circa
A = 18 metri quadrati

Trovate altri problemi basati sulle formule del teorema di Pitagora al primo indirizzo web sotto a cui segue il link alla pagina dove viene descritta, nella maniera più precisa, la definizione di teorema di Pitagora. L'ultimo link invece vi porta in una pagina da dove poter scegliere tra articoli che trattano di figure geometriche come i vari  triangoli, il quadrato, il rettangolo, il trapezio, il cerchio, il parallelogramma, il cono, la sfera, la piramide, il parallelepipedo, ecc... Troverete teoria, formule e problemi :

TEOREMA DI PITAGORA - PROBLEMI

DEFINIZIONE DEL TEOREMA DI PITAGORA
TEORIA FORMULE E PROBLEMI DI GEOMETRIA

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IPOTENUSA TRIANGOLO RETTANGOLO

IPOTENUSA DEL TRIANGOLO RETTANGOLO FORMULE

Quali le formule dirette ed inverse per calcolare l'ipotenusa di un triangolo rettangolo oppure uno dei 2 cateti ? L'ipotenusa del triangolo rettangolo o isoscele come si calcola e quale la formula base ? Essa è strettamente legata al famoso teorema di Pitagora, il cui enunciato e dimostrazione trovate qui. Oggi vediamo quali le formule per il calcolo dell'ipotenusa ma anche dei cateti in un triangolo rettangolo ma anche rettangolo isoscele oppure solamente isoscele o ancora scaleno. Ad una breve teoria seguirà un semplice problema sul triangolo rettangolo per applicare le formule del teorema pitagorico.

Il lato AB nel disegno è indicato in formula sotto con la lettera c ed indica la lunghezza dell'ipotenusa che risulta quindi essere la somma dei quadrati dei 2 cateti (lati AC, BC, identificati con le lettere a e b), sotto radice quadrata. Conoscendo il valore dell'ipotenusa possiamo quindi calcolare i valori dei 2 cateti a e b. Ecco sotto le 3 formule partendo da quella sull' ipotenusa del triangolo rettangolo :

Come già detto, il teroema di Pitagora si può applicare quando siamo in presenza di un triangolo rettangolo (con un angolo retto di 90 gradi al suo interno). Quindi, ad esempio, potremmo utilizzarlo per calcolare la diagonale (ipotenusa) di un rettangolo che ha come cateti la base e l'altezza. Infatti un triangolo rettangolo può essere la metà di un quadrato (se i 2 cateti hanno uguale lunghezza) o la metà di un rettangolo. Vedi il disegno sotto.

Adesso non ci resta che applicare il famoso teorema pitagorico svolgendo il problema sotto indicato. Per eseguirlo nella maniera corretta tenete presente le formule sopra dette e la figura del triangolo all'inizio del post. Quella infatti è la figura di cui si parla nel problema.

PROBLEMA PER CALCOLARE IPOTENUSA DEL TRIANGOLO RETTANGOLO

"Un triangolo rettangolo ha il cateto a lungo quanto il lato l di un quadrato che ha un perimetro P lungo 16 cm. Il cateto b risulta invece essere 3 volte superiore come lunghezza al cateto a. Calcolate il valore dell'ipotenusa c del triangolo rettangolo in questione. Alla fine calcolate il perimetro P totale del triangolo e la sua area A totale"

Risultati del problema :

c = 12,64 cm circa

P rett. = 28,64 cm circa

A rett. = 24 cm quadrati

Se vi interessano altri problemi di geometria per scuola primaria o media su diverse altre figure geometriche come il quadrato, il rettangolo, il trapezio, il cono, la piramide, la sfera, ecc..., allora sotto vi lascio alcuni links che vi permetteranno di accedere agli articoli che li trattano. Tramite l'ultimo link potrete visitare una pagina con tanti links a posts che riguardano la grammatica italiana oltre che la matematica, la geometria e le scienze, con anche diversi test da effettuare :

CALCOLO AREA DI UN QUADRATO

COME CALCOLARE L'AREA DI UN ROMBO

LE FORMULE DEL TRAPEZIO RETTANGOLO

LE FORMULE INVERSE DELLA CIRCONFERENZA

PROBLEMI DI GEOMETRIA PER LA TERZA MEDIA

PROBLEMI DI GEOMETRIA PER LA SCUOLA MEDIA

COMPITI DI GRAMMATICA MATEMATICA GEOMETRIA

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