CALCOLARE ALTEZZA TRIANGOLO EQUILATERO

CALCOLARE ALTEZZA TRIANGOLO EQUILATERO

Il triangolo equilatero si studia dopo aver studiato le figure geometriche del quadrato e del rettangolo. Sappiamo che la caratteristica del triangolo equilatero è avere i 3 lati di uguale lunghezza e quindi gli angoli interni anch'essi della stessa ampiezza (60 gradi ciascuno). Quali le formule del triangolo equilatero ? Quale quella per calcolare l'area oppure il perimetro o magari l'altezza ? Già, come calcolare l'altezza del triangolo equilatero ? Esistono numerosi metodi come il teorema di Pitagora. Ma vediamo di analizzare il tutto. Alla teoria seguirà un bel problema semplice da risolvere, adatto ad alunni di scuola media.

La formula generale per il calcolo dell'area A di un triangolo è :

A = (bxh)/2

Ne scaturisce che l'altezza  h del triangolo si trova in questo modo, con la formula inversa :

h = 2A/b

Ma il triangolo equilatero gode di particolari formule per il calcolo di lato, area o altezza. Questo perchè esso presenta i 3 lati uguali. Ecco le formule corrette :

Le formule inverse relative ad ogni formula indicata sopra sono queste :

l = 2h / radice 3

l = P / 3

l = A/0,433 (tutto sotto radice quadrata)

Come vedete, nella prima formula sopra, per calcolare l'altezza di un triangolo equilatero qualsiasi, bisogna utilizzare il lato e la radice quadrata del numero 3, sempre in funzione del lato. Le formule non sono difficili e sono da usare rispetto a quelle precedentemente elencate dove utilizziamo base b ed altezza h. Proprio perchè b in un triangolo equilatero corrisponde al lato l.

Conoscendo il lato quindi è possibile calcolare perimetro P, altezza h ed area A del triangolo e non occorre neanche utilizzare il famoso teorema di Pitagora che parla di ipotenusa e cateti. Questo teorema, del cui enunciato ed utilizzo ho parlato in articoli precedenti, va usato su triangoli isoceli, rettangolo, scaleni ed in altre figure geometriche come rombo e trapezio, dove insomma si formi un triangolo rettangolo. Vi offro comunque un disegno per capire il teorema ed il link all'articolo dove troverete la definizione esatta con anche alcuni esercizi :

DEFINIZIONE ED APPLICAZIONE DEL TEOREMA DI PITAGORA

Ma adesso, come promesso, un semplice problema in cui applicare le 3 formule sopra, cioè quelle che, tramite il valore di un lato, permettono di trovare altezza, perimetro e area di un triangolo equilatero.

PROBLEMA SUL TRIANGOLO EQUILATERO

"Un triangolo equilatero ha il lato lungo 6,5 cm. Calcolate altezza h, perimetro P e area A del triangolo in questione"

Risultati :

h = 5,6 cm circa

P = 19,5 cm

A = 18,29 cm quadrati circa

Sotto trovate i collegamenti per andare a leggere teoria con formule e problemi su altri tipi di triangoli :

FORMULE DEL TRIANGOLO ISOSCELE

FORMULE DEL TRIANGOLO RETTANGOLO

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CALCOLARE LATO TRIANGOLO ISOSCELE

CALCOLARE LATO TRIANGOLO ISOSCELE

Come fare a calcolare il lato del triangolo isoscele, di un triangolo isoscele di cui conosciamo solamente il valore dell'altezza e della base ? Naturalmente utilizzando il famoso ed indispensabile teorema di Pitagora. Il teorema, per la verità già utilizzato in tempi antichi (Egizi) lavora su un triangolo che abbia un angolo retto, quindi di 90 gradi, al suo interno. Due dei 3 lati devono essere perpendicolari per poter parlare di ipotenusa e cateti. Vediamo un disegno di un triangolo rettangolo qui sotto :

L'ipotenusa corrisponde al lato obliquo, cioè al lato più lungo mentre a e b corrispondono ai cateti, cioè ad altezza e base del triangolo rettangolo. Ma adesso torniamo al triangolo isoscele e a come fare per calcolare il suo lato, attraverso il teorema. Innanzitutto la definizione precisa del teorema è questa :

"L'area che si forma sul lato detto ipotenusa è la somma delle 2 aree che si formano sui lati detti cateti". Ecco l'immagine sotto :

Ma il lato di un triangolo isoscele, cioè con 2 lati obliqui uguali, come si calcola, visto che il triangolo non è rettangolo ? Semplice, l'altezza che parte dal vertice del triangolo isoscele divide la figura in 2 triangoli rettangoli come in figura sotto :

A questo punto se consideriamo l'altezza come un cateto e metà della base come l'altro cateto, possiamo applicare il teorema di Pitagora, utilizzando la prima delle formule seguenti, dove c corrisponde al valore dell'ipotenusa cioè del lato obliquo :

Ecco come calcolare il lato del triangolo isoscele. La somma dei 2 cateti al quadrato posta sotto radice ci da il valore dell'ipotenusa. Se conosciamo l'ipotenusa (lato obliquo) ed un cateto possiamo trovare il valore dell'altro, attraverso le formule inverse, quindi la seconda o terza su. Ma adesso voglio fornirvi un problema dove poter applicare il teorema pitagorico proprio per calcolare l'ipotenusa, quindi il lato obliquo di un triangolo isoscele.

PROBLEMA SUL TRIANGOLO ISOSCELE

"Un triangolo isoscele presenta l'altezza h pari al valore del lato l di un quadrato, la cui area A risulta essere di 81 cm quadrati. La base b del triangolo isoscele corrisponde a 7 cm. Calcolate il lato obliquo (ipotenusa) del triangolo, oltre al suo perimetro P ed area A"

Risultati :

lato obliquo = 9,65 cm circa

P = 26,3 cm circa

A = 31,5 cm quadrati

Spero ricordiate le formule per il calcolo di Area e Perimetro di un triangolo. Comunque vi offro il link per andare a trovarle insieme ad altri articoli dove trovare altri esercizi sul teorema di Pitagora :

FORMULE DEL TRIANGOLO ISOSCELE

PROBLEMI CON IL TEOREMA DI PITAGORA
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ENUNCIATO DEL TEOREMA DI PITAGORA

ENUNCIATO DEL TEOREMA DI PITAGORA

Prima di scrivere la definizione del teorema di Pitagora diciamo subito che esso viene studiato principalmente e per la prima volta nelle scuole medie, quando si affronta la figura geometrica del triangolo, sia esso equilatero che isoscele, rettangolo o scaleno. Il teorema di Pitagora fa parte della geometria euclidea ed in realtà non fu scoperto dal matematico Pitagora ne tanto meno dimostrato. Questo teorema dimostra una relazione tra i 3 lati di un triangolo, permettendo la soluzione di diversi problemi dove viene richiesto di ricercare la lunghezza di uno di questi lati che vengono chiamati cateti ed ipotenusa.

L'ipotenusa è il lato più lungo tra i 3. L'enunciato del teorema di Pitagora dice che l'area A del quadrato costruito sull'ipotenusa è la somma delle 2 aree costruite sui cateti. Per meglio capire il concetto e la definizione del teorema di Pitagora, osservate questo disegno :

Il quadrato costruito sull'ipotenusa c è grande quanto la somma delle 2 aree costruite sui 2 cateti a e b. Perchè il teorema di Pitagora sia applicabile, tra i 2 cateti deve formarsi un angolo retto interno al triangolo. I 2 cateti devono essere quindi perfettamente perpendicolari. Ma, l'enunciato o definizione del teorema di Pitagora ci porta a delle formule che sono queste.

FORMULE DEL TEOREMA DI PITAGORA

Dunque vediamo come l'ipotenusa c venga calcolata come la radice quadrata della somma del valore dei 2 cateti al quadrato. Ciascuno dei 2 cateti a e b invece vede la radice quadrata della differenza di ipotenusa e cateto al quadrato. Capire il teorema di Pitagora con le sue formule che non sono difficili, è importante per imparare ad eseguire molti problemi di geometria. Infatti questo teorema viene applicato anche a trapezi, rombi, insomma in quelle figure geometriche dove sia possibile costruire un triangolo rettangolo interno.

Ma adesso, dopo aver visto la definizione e le formule del teorema di Pitagora, un bel problema ad esso relativo non guasta. Provate ad risolverlo, dato anche che è molto semplice.

PROBLEMA SUL TEOREMA DI PITAGORA

"Un triangolo rettangolo presenta il cateto più piccolo pari alla lunghezza del lato l di un quadrato, la cui area A è 100 cm quadrati. Il cateto più grande del triangolo è il doppio del cateto più piccolo. Dopo aver trovato l'ipotenusa del triangolo, utilizzando il teorema di Pitagora, calcolate perimetro P ed area A del triangolo stesso"

Risultati :

ipotenusa = 22,36 cm circa

P = 52,36 cm circa

A = 100 cm quadrati

Se non ricordate le formule del triangolo per il calcolo di perimetro ed area, allora leggete questi miei articoli, dove troverete anche altri problemi su cui applicare la definizione e le formule del teorema pitagorico :

FORMULE DEL TRIANGOLO RETTANGOLO

PROBLEMI CON IL TEOREMA DI PITAGORA

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